Контрольна робота
«Багатовимірні і багатозв'язних системи»
Завдання
Для багатовимірної системи, заданої матрицями А, В, С, отримати:
1. Передавальну функцію ;
2. Частотну передавальну функцію ;
3. Годограф;
4. Імпульсну характеристику ;
5. Перехідну характеристику ;
6. ЛАЧХ ;
7. ФЧХ .
Скласти структурну схему системи.
Дано:
;
;
.
Рішення:
1. Передавальна функція
Розглядаємо лінійну систему з постійними параметрами:
,
.
Перетворимо по Лапласу матричні рівняння:
; (1)
, (2)
де
; ;
- Лапласови перетворення координат стану , Вихідних і вхідних сигналів.
Перетворимо рівняння (1):
Виносимо за дужки:
де
- Одинична матриця.
Множимо ліворуч на зворотну матрицю:
Звідки отримуємо:
.
Підставляємо в рівняння (2):
Отримуємо:
Вираз називають передавальної функцією системи.
Знаходимо її:
Знаходимо зворотну матрицю:
Підставляємо:
.
2. Частотна передатна функція
Для отримання частотної передавальної функції виробляємо заміну в передавальної функції :
,
отримуємо:
.
Виділимо дійсну та уявну частини:
,
для цього помножимо чисельник і знаменник на комплексно - пов'язаний знаменник:
;
;
;
.
3. Годограф
Годограф - це графік частотної передавальної функції на комплексній площині при зміні частоти від нуля до нескінченності.
Змінюючи частоту, виробляємо розрахунок дійсної та уявної частин частотної передавальної функції.
Результат розрахунку записуємо в таблицю 1.
Таблиця 1. Розрахунок годографа
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
0 | 2,8750000 | 0,0000000 | 10 | -0,0512719 | 0,4570747 | 200 | -0,00018 | 0,020008 |
1 | 2,7230769 | 0,9846154 | 20 | -0,0163435 | 0,2074170 | 300 | -0,000078 | 0,013336 |
2 | 1,9500000 | 1,9000000 | 30 | -0,0075500 | 0,1355448 | 400 | -0,000044 | 0,010001 |
3 | 0,8344828 | 1,9862069 | 40 | -0,0043030 | 0,1009350 | 500 | -0,000028 | 0,008001 |
4 | 0,2250000 | 1,5500000 | 50 | -0,0027705 | 0,0804792 | 600 | -0,000019 | 0,006667 |
5 | 0,0130624 | 1,1611030 | 60 | -0,0019302 | 0,0669441 | 700 | -0,000014 | 0,005715 |
6 | -0,0500000 | 0,9000000 | 70 | -0,0014209 | 0,0573176 | 800 | -0,000019 | 0,005000 |
7 | -0,0645030 | 0,7269777 | 80 | -0,0010893 | 0,0501171 | 900 | -0,000009 | 0,004445 |
8 | -0,0634615 | 0,6076923 | 90 | -0,0008614 | 0,0445267 | 1000 | -0,000007 | 0,004000 |
9 | -0,0578113 | 0,5216604 | 100 | -0,0006982 | 0,0400600 | 2000 | -0,000002 | 0,002000 |
Можна побудувати графік на комплексній площині - рис. 1.
Рис. 1. Годограф
4. Імпульсна характеристика
Імпульсна характеристика обчислюється як зворотне перетворення Лапласа від передавальної функції:
.
Знайдемо полюса передавальної функції:
Бачимо - полюси розташовані в правій півплощині, а це означає, що процес буде розбіжним.
Розкладемо передавальну функцію на прості дроби:
.
Використовуючи табличні значення, знаходимо:
,
.
Таким чином, отримуємо:
.
Змінюючи час від нуля до 5 секунд, робимо розрахунок по формулі, результати заносимо в таблицю 2.
Таблиця 2. Імпульсна характеристика
| 0 | 0,5 | 1 | 1,5 | 2 | 2,5 | 3 | 3,5 | 4 | 4,5 | 5 |
| -4 | 11,28 | 62,69 | 100,8 | -167,1 | -1236 | -2395 | 2097 | 23854 | 54578 | -15944 |
Будуємо графік імпульсної характеристики - рис. 2.
Рис. 2. Імпульсна характеристика
5. Перехідна характеристика
Перехідна характеристика обчислюється як зворотне перетворення Лапласа від передавальної функції, поділеній на р:
.
Знайдемо полюса передавальної функції:
; .
Бачимо - полюси розташовані в правій півплощині, а це означає, що процес буде розбіжним.
Розкладемо передавальну функцію, поділену на р, на прості дроби:
.
Наводимо до загального знаменника:
.
Прирівнюємо коефіцієнти при рівних ступенях р:
,
,
.
Звідки знаходимо:
,
,
.
Використовуючи табличні значення, знаходимо:
,
,
.
Таким чином, отримуємо:
.
Змінюючи час від нуля до 5 секунд, робимо розрахунок по формулі, результати заносимо в таблицю 3.
Таблиця 3. Перехідна характеристика
| 0 | 0,5 | 1 | 1,5 | 2 | 2,5 | 3 | 3,5 | 4 | 4,5 | 5 |
| 0 | 0,654 | 17,59 | 62,52 | 69,32 | -243 | -1209 | -1744 | 3830 | 24151 | 42653 |
Будуємо графік перехідної характеристики - рис. 3.
Рис. 3. Перехідна характеристика
6. ЛАЧХ
Для отримання ЛАЧХ знайдемо модуль частотної передавальної функції:
.
далі знаходиться 20 десяткових логарифмів від знайденого модуля:
.
Це і є вираз для ЛАЧХ.
Розрахунок значень ЛАЧХ ведемо в логарифмічному масштабі. Результати записуємо в таблицю 4. Розмірність ЛАЧХ - децибели (дБ).
Таблиця 4. ЛАЧХ
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-1 | 0,1 | 9,17406 | 0,1 | 1,25893 | 9,20891 | 1,2 | 15,8489 | -11,426 |
-0,9 | 0,12589 | 9,17482 | 0,2 | 1,58489 | 9,08243 | 1,3 | 19,9526 | -13,614 |
-0,8 | 0,15849 | 9,17601 | 0,3 | 1,99526 | 8,70564 | 1,4 | 25,1189 | -15,738 |
-0,7 | 0,19953 | 9,17788 | 0,4 | 2,51189 | 7,83066 | 1,5 | 31,6228 | -17,818 |
-0,6 | 0,25119 | 9,18077 | 0,5 | 3,16228 | 6,23375 | 1,6 | 39,8107 | -19,869 |
-0,5 | 0,31623 | 9,18519 | 0,6 | 3,98107 | 3,94960 | 1,7 | 50,1187 | -21,902 |
-0,4 | 0,39811 | 9,19182 | 0,7 | 5,01187 | 1,26946 | 1,8 | 63,0957 | -23,923 |
-0,3 | 0,50119 | 9,20135 | 0,8 | 6,30957 | -1,5050 | 1,9 | 79,4328 | -25,936 |
-0,2 | 0,63096 | 9,21400 | 0,9 | 7,94328 | -4,1982 | 2 | 100 | -27,944 |
-0,1 | 0,79433 | 9,22792 | 1 | 10 | -6,7459 | 2,1 | 125,893 | -29,950 |
0 | 1 | 9,23483 | 1,1 | 12,5893 | -9,1470 | 2,2 | 158,489 | -31,953 |
Будуємо графік ЛАЧХ - рис. 4.
Рис. 4. ЛАЧХ
7. ФЧХ
ФЧХ - кут повороту вектора на комплексній площині в залежності від частоти:
.
Розрахунок значень ФЧХ ведемо в логарифмічному масштабі. Результати записуємо в таблицю 5. Розмірність ФЧХ - радіани (рад).
Таблиця 5. ФЧХ
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-1 | 0,1 | 0,03263 | 0,1 | 1,25893 | 0,44997 | 1,2 | 15,8489 | 1,66382 |
-0,9 | 0,12589 | 0,04110 | 0,2 | 1,58489 | 0,58831 | 1,3 | 19,9526 | 1,64958 |
-0,8 | 0,15849 | 0,05177 | 0,3 | 1,99526 | 0,77030 | 1,4 | 25,1189 | 1,63592 |
-0,7 | 0,19953 | 0,06524 | 0,4 | 2,51189 | 0,99225 | 1,5 | 31,6228 | 1,62384 |
-0,6 | 0,25119 | 0,08227 | 0,5 | 3,16228 | 1,22480 | 1,6 | 39,8107 | 1,61359 |
-0,5 | 0,31623 | 0,10383 | 0,6 | 3,98107 | 1,42316 | 1,7 | 50,1187 | 1,60513 |
-0,4 | 0,39811 | 0,13123 | 0,7 | 5,01187 | 1,56064 | 1,8 | 63,0957 | 1,59824 |
-0,3 | 0,50119 | 0,16622 | 0,8 | 6,30957 | 1,63913 | 1,9 | 79,4328 | 1,59268 |
-0,2 | 0,63096 | 0,21126 | 0,9 | 7,94328 | 1,67427 | 2 | 100 | 1,58822 |
-0,1 | 0,79433 | 0,26981 | 1 | 10 | 1,68250 | 2,1 | 125,893 | 1,58466 |
0 | 1 | 0,34696 | 1,1 | 12,5893 | 1,67633 | 2,2 | 158,489 | 1,58182 |
Будуємо графік ФЧХ - рис. 5.
Рис. 5. ФЧХ
8. Структурна схема системи
Записуємо матричні рівняння системи:
;
.
Підставляємо вихідні дані:
;
.
Виробляємо множення матриць:
,
,
.
Отримали систему рівнянь, на основі якої будуємо структурну схему - рис. 6.
Рис. 6. Структурна схема системи
Частина 2:
Здійснити синтез замкнутої системи з власними числами
{-1; -4; ± 5 j}.
Побудувати спостерігач повного порядку.
Дано:
,
,
.
Рішення:
1. Синтез замкнутої системи
Розглядаємо лінійну систему з постійними параметрами:
,
.
Нехай управління лінійно залежить від координат стану системи:
,
де
- Вхідний командний сигнал,
К - матриця коефіцієнтів зворотного зв'язку.
Після замикання ця система має структуру, зображену на рис. 7.
Рис. 7. Структура вихідної системи
Рух системи описується лінійним диференціальним рівнянням:
.
Таким чином, динамічні властивості системи повністю визначаються матрицею А - ВК, її характеристичними числами.
Характеристичний многочлен вихідної системи дорівнює:
.
Спектр характеристичних чисел (коріння характеристичного многочлена):
.
Бажаний характеристичний многочлен замкнутої системи за умовою має 4 власних числа, але наша вихідна система має третій порядок, тому одне з власних чисел необхідно прибрати, прибираємо власне число (-1), тоді:
.
Нехай матриця коефіцієнтів зворотного зв'язку , Тоді характеристичний поліном замкнутої системи:
.
Прирівнюємо коефіцієнти при рівних ступенях многочленів і :
,
,
,
.
Вирішуючи отриману систему рівнянь, отримуємо:
,
,
.
Искомое управління приймає вигляд:
.
Структура синтезованої системи представлена на рис. 8.
Вона побудована за рівняннями:
,
,
,
,
.
Рис. 8. Структура синтезованої системи
2. Побудова спостерігача повного порядку
Система
називається асимптотическим спостерігачем повного порядку, якщо для будь-якого початкового стану х (0) і всіх оцінка із зростанням часу асимптотично наближається до вектора стану .
Знайдемо структуру асимптотичного спостерігача, для чого визначимо помилку відновлення і знайдемо модель її зміни:
.
Потім вимагатимемо, щоб при всіх і .
Це рівність можливо при:
,
.
Таким чином, структура асимптотичного спостерігача повного порядку визначається моделлю види:
.
На рис. 9 зображена структура системи та її спостерігача.
Рис. 9. Структура системи з спостерігачем
Завдання синтезу спостерігача системи полягає в тому, щоб знайти матрицю . Це можна зробити, виходячи з умови асимптотичної збіжності оцінки до вектора стану при будь-яких початкових станах спостерігача і системи.
Нехай помилка відновлення , Тоді
.
Помилка відновлення описується лінійним однорідним диференціальним рівнянням з матрицею і ненульовими початковими умовами, а тому асимптотична збіжність помилки до нуля можлива тоді і тільки тоді, коли власні числа матриці , Які називають полюсами спостерігача, розташовуються в лівій півплощині.
Нехай матриця
,
тоді матриця
.
Полюса спостерігача визначаються рівнянням:
.
Перехідні процеси в спостерігачі будуть непорівнянні з процесами в системі, якщо полюса спостерігача будуть значно лівіше полюсів системи. Оскільки характеристичні числа замкнутої системи рівні:
{- 4; ± 5 j},
то розташуємо полюса спостерігача в точках:
.
Бажаний характеристичний поліном спостерігача приймає вигляд:
,
що буде мати місце тоді, коли:
,
,
.
Вирішуючи отриману систему рівнянь, отримуємо:
;
;
.
Знаходимо матрицю:
Модель асимптотичного спостерігача системи приймає вигляд:
,
,
,
.
Структура системи зі своїм асимптотическим спостерігачем повного порядку представлена на рис. 10.
Вона побудована за рівняннями:
,
,
,
,
,
,
.